《线性代数A》课程教学大纲

课程名称：线性代数A

英文名称：Linear Algebra A

课程编号：2800006

开课学期：第2学期

学时/学分：48学时/ 3学分

课程类型：公共基础课

开课专业：全校

一、课程的目的和任务

本课程的授课对象是全校公共基础必修课。

通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本分析方法，初步掌握处理线性方程组和矩阵问题的基本思想和方法，培养学生运用线性代数基础知识解决简单实际问题的能力, 并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、课程的基本要求和特点

通过本课程的教学，使学生具备下列能力：

1．掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，为解决经济社会中与这些概念、理论和方法有关的复杂问题提供数学基础。

2. 培养学生抽象思维能力和基本的运算能力，能够应用所学的矩阵、线性方程组的知识解决实际问题。

课堂讲授：逐步完善电子教学手段，运用电子课件的形象教学和适度的理论推导，讲清概念、原理和主要定理；结合例题讲解和较大量的课外练习使学生理解和掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。每周安排一次答疑。

作业方面：布置较大量的作业，帮助学生掌握重点、培养自学和独立分析问题的能力。每次作业批改后，对于存在的共性问题，在课堂进行作业讲评。重要内容可在课堂做少量练习，然后讨论和讲解。

三、本课程与其它课程的联系

本课程的基础是高中数学，它是其它大学数学课程及工科课程的基础。

四、课程的主要内容

行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换。

1.行列式

教学要求：

了解：全排列、对换、逆序数以及行列式的定义。

掌握：用行列式的定义求一些特殊的行列式，利用行列式的性质求行列式的值，通过行列式按行或列展开来化简行列式的计算。

应用：利用克拉默法则解解线性方程组。

教学要点：

（1）解二阶与三阶行列式的对角线法则；

（2）全排列和对换；

（3）行列式的定义和性质；

（4）行列式按行（列）展开；

（6）克拉默法则。

2. 矩阵及其运算

教学要求：

了解：矩阵的概念。

掌握：矩阵的运算、矩阵可逆的概念、矩阵可逆的充要条件以及求矩阵的逆矩阵的方法，线性方程组的矩阵表示。

应用：矩阵乘法在线性变换上的应用。

教学要点：

（1）矩阵的运算；

（2）方阵可逆的判断及逆矩阵的求法；

（3）分块矩阵

3. 矩阵的初等变换与线性方程组求解

教学要求：

了解：线性方程组的矩阵表示，矩阵的秩的概念。

掌握：矩阵的初等变换及初等矩阵，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵的概念和求法，用矩阵的的初等变换求矩阵的秩的方法，用初等行变换判断矩阵是否可逆，以及求可逆时的逆矩阵。

应用：利用矩阵的秩判断线性方程组的解的情况，利用矩阵的的初等变换求解线性方程组。

教学要点：

（1）矩阵的初等变换及初等矩阵；

（2）行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的概念和求法；

（3）用矩阵的的初等变换求矩阵的秩；

（4）用初等行变换判断矩阵是否可逆，以及求可逆时的逆矩阵；

（5）线性方程组的解的判断与求解。

4.向量组与向量空间

教学要求：

了解：向量组的线性相关、线性无关的概念、向量组的秩、向量空间的基、维数、向量的内积、长度及正交性。

掌握：求向量组的秩与最大线性无关组，向量空间的相关知识。

应用：利用齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组的一个特解求非齐次线性方程组的通解。

教学要点：

（1）向量组的线性相关、线性无关的判断；

（2）向量组的秩；

（3）线性方程组的解的结构；

（4）向量空间。

5. 特征值与特征向量

教学要求：

了解：引言：一个系统状态的转化。

掌握：方阵的特征值与特征向量的性质和它们的求法，相似矩阵的概念及性质，矩阵可对角化的定义以及矩阵可对角化的条件，用可逆矩阵把一般可对角化矩阵化为对角阵的方法，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及用正交矩阵把实对称矩阵对角化的方法。

教学要点：

（1）特征值与特征向量的性质及求法；

（2）矩阵可对角化的条件；

（3）用可逆矩阵把一般可对角化矩阵化为对角阵的方法；

（4）用正交矩阵把实对称矩阵对角化的方法。

6. 二次型

教学要求：

了解：用配方法化二次型成标准形，运用线性变换化二次型为标准形的原理。

掌握：二次型以及二次型的标准形的概念、二次型的矩阵表示、二次型的秩。运用正交变换化二次型为标准形。二次型及实对称矩阵有定性的概念及判断

教学要点：

（1）二次型及其矩阵表示；

（2）运用正交变换化二次型为标准形；

（3）惯性定理；

（3）实二次型及实对称矩阵有定性的判断。

7.线性空间与线性变换

教学要求：

了解：线性空间的定义与性质。

掌握：线性空间的维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性变换，线性变换的矩阵表示式。

教学要点：

（1）线性空间的定义与性质；

（2）线性空间的基、维数和向量坐标；

（3）基变换与坐标变换；

（4）线性变换；

（5）线性变换的矩阵表示式。

五、学时分配（总学时：48 学时，学分：3学分）

                       表：线性代数学时分配表

六、考核方式

考试环节：期终考题包括对概念与理论的理解、运用两个部分，比例为3：7。总评成绩根据平时成绩（包括考勤、作业，占比为30 %）和期终考试成绩（占比为70%）综合确定。

七、教材及参考书

教  材：王玺等.线性代数．北京：高等教育出版社，2018.

参考书：

1. 同济大学数学系．线性代数（第六版）．北京：高等教育出版社，2013.

2. 郭聿琦等. 线性代数导引．北京：科学出版社，2006.

3. Sheldon  Axler著，杜现昆，马晶译. 线性代数应该这样学（第三版）．北京：人民邮电出版社，2016.

执笔人：教师姓名 朱凤林

审核人：专业负责人徐丽

院（部）负责人：孙玉芹