作品名称 复变函数数字课程
作 者 朱健民 黄建华 王晓 刘易成 陈吉美 李颖 聂芬
出版发行 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
出版时间 2019年6月
策划编辑 李晓鹏
责任编辑 李晓鹏
复变函数又称复变函数论，由微积分理论发展而来，理论优美而深刻，在数学的其他分支及工程技术领域具有非常广泛的应用。经典的复变函数论即为解析函数论，主要由积分理论、级数理论与保形映射理论三部分构成，分别由柯西（Cauchy）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann）为代表的数学家创立。积分理论中的柯西积分定理与柯西积分公式是整个解析函数论的基础，它们从积分的角度刻画了解析函数的特性；级数理论用函数的级数展开来刻画解析函数，揭示了函数的解析性与级数展开的内在联系，同时也为计算复积分和实积分提供了重要方法；保形映射理论研究平面上区域之间的联系，使解析函数构成平面区域之间的桥梁，也使得解析函数获得了更大的应用空间。
国防科技大学复变函数课程于2018年在爱课程网上线，课程主要讲授复变函数的基本概念、基本理论和基本方法，以培养学生应用复变函数理论描述和解决工程技术问题的能力为目标，同时为后续课程的学习打下坚实的复分析基础。本数字课程包括微视频、课件、自测题、讨论题、期末考试题等教学资源，并提供作业、测试、答疑等教学活动支撑，可以有效地辅助教师课堂教学，提升课程教学效果，同时帮助学生提高学习效率和学习能力，拓宽视野。
本数字课程可供高等学校数学类和非数学类部分理工科专业相关课程定制使用，也可供教学参考。
课程教师
朱健民
版权信息
联系方式
内容编辑：李晓鹏
电话：010-58556201
e-mail：lixp1@hep.com.cn
技术咨询：毛芳
电话：010-58581454
e-mail：maofang@hep.com.cn
课程大纲
绪论
第一章 复数及复平面
1.1 复数及其几何表示
1.1.1 复数域
1.1.2 复平面
1.1.3 复球面及无穷大
1.2 复平面的拓扑
1.2.1 初步概念
1.2.2 区域·曲线
第二章 复变函数
2.1 解析函数
2.1.1 极限与连续性
2.1.2 导数·解析函数
2.1.3 柯西一黎曼条件
2.2 初等函数
2.2.1 指数函数
2.2.2 多值函数导引：辐角函数（*）
2.2.3 对数函数
2.2.4 幂函数 （*）
2.2.5 三角函数
第三章 复变函数的积分
3.1 柯西定理
3.1.1 复变函数的积分
3.1.2 几个引理（*）
3.1.3 柯西定理
3.2 柯西公式
3.2.1 柯西公式
3.2.2 柯西公式的应用
第四章 级数
4.1 级数和序列的基本性质
4.1.1 复数项级数和复数序列
4.1.2 复变函数项级数和复变函数序列 （*）
4.1.3 幂级数
4.2 泰勒展式
4.2.1 解析函数的泰勒展式
4.2.2 零点
4.2.3 解析函数的唯一性
4.3 洛朗展式
4.3.1 解析函数的洛朗展式
4.3.2 解析函数的孤立奇点
4.3.3 解析函数在无穷远点的性质（*）
4.3.4 整函数与亚纯函数概念 （*）
第五章 留数
5.1 一般理论
5.1.1 留数定理
5.1.2 留数的计算
5.2 留数计算的应用
5.2.1 积分的计算（Ⅰ）
5.2.2 积分的计算（Ⅱ）（*）
5.2.3 亚纯函数的零点与极点的个数·儒歇定理 （*）
第六章 保形映射
6.1 单叶解析函数的映射性质
6.1.1 一般概念（*）
6.1.2 导数的几何意义
6.2 分式线性函数及其映射性质
6.2.1 分式线性函数
6.2.2 分式线性函数的映射性质
6.2.3 两个特殊的分式线性函数
6.3 黎曼定理（*）
6.3.1 最大模原理·施瓦茨引理
6.3.2 黎曼定理及边界对应概念
6.3.3 实例
6.4 多角形映射公式（*）
6.4.1 基本公式
6.4.2 实例
第七章 调和函数
7.1 调和函数及其性质
7.1.1 一般概念
7.1.2 中值公式与泊松公式·极值原理
7.2 狄利克雷问题（*）
7.2.1 圆盘上的狄利克雷问题
7.2.2 上半平面上的狄利克雷问题
注：标注有（*）号的内容对非数学类专业的学习者不作要求。